宇宙一早くてていねいな2021都立高校入試数学「解説」その2(5番)

先日、入試当日に４番の解説だけUPしましたが、他の問題は簡単だったので解説する気がほぼ失せていました。が、「５番の解説も『一応』してほしい」との声を頂いたため、試験４日後で、もはや「宇宙一早く」ない解説を「一応」してみます。

「2021年都立高校入試数学５番」
問題はこちら

[問１]

この三角柱の辺の中で、PQと「ねじれの位置」にある辺の本数をだす問題です。
この問題ではPQが斜めに見えるので、一見難しそうですが、教科書のねじれの位置の定義として「平行でなく、交わらない」or「同一(同じ)平面上にない」(両定義とも同じ意味)をしっかり覚えていれば簡単です。
特に「同一(同じ)平面上にない」を使えば、ＰＱと同じ平面上CFBEにある辺はBC、CF、FE、EBの４本あるのは見れば分かるので、正解は残りの５本。

[問２]

５番の問２で定番の「立体の求積問題」です。
例年通り、どこを「底面」、どこを「高さ」にするかが問題です。
問題文には「立体Ｄ-ＢＰＦＱ」と書いてあります。
都立の場合、「立体○-○○○」と記述されると「-」の前の記号が頂点、「-」のうしろが底面であることが近年では多くなっています。(ただし、平成28年度の５番のように、誘導に乗る[頂点を「-」の前の記号にする]と、時間内では解けなさそうな相当面倒な解き方になることもあります)

今年はそのまま点Ｄを頂点、四角形ＢＰＦＱを底面とするのが、最も自然でしょう。
ただし、点Ｄから面ＢＰＦＱに降ろした垂線が辺ＦＥ上に降り、本当に面ＢＰＦＱに垂直かどうかが問題です。「見た感じ、そうじゃん」ではダメです。私立だと確実にだまされますよ。必ず確かめましょう。
「直線と平面が垂直であること」を確かめる方法は、この問題では「柱体」の定義から説き起こさないといけないので話が長くなります。今回は東京書籍「新しい数学」１年p.182,183 啓林館「未来へひろがる数学」１年p.178など教科書で、「直線と平面が垂直であること」だけでもしっかり確認することをおすすめします。

[ここからほんとの解説]
立体Ｄ-ＢＰＦＱは頂点をＤとする四角すい。
底面ＢＰＦＱは平行四辺形で、底辺ＦＱが4cm、高さがＢＥで６cm。
立体の底面積は４×６＝２４
△ＤＥＦで、頂点ＤからＦＥに降ろした垂線をＤＨとする。

△ＤＥＦの面積は

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